Potenciação

Quando vemos vários números multiplicando o mesmo número podemos adotar uma regra chamada potenciação. Por exemplo

3.3.3.3 = 3^4

Observe(no exemplo acima) que o 3 aparece se multiplicando 4 vezes, então para deixar isso mais fácil e simples podemos colocar na forma 3^4.

Mais exemplos:

2.2.2.2.2.2.2=2^7

8.8.8.8=8^4

x.x.x=x^3

O expoente indica o total de vezes que a base deve se multiplicar. Por exemplo: Em 7^4 = 7.7.7.7 o expoente é 4 então o 7 será multiplicado 4 vezes. Agora que você já viu os conceitos básico, vamos ver as propriedades.

Propriedades


a)Toda vez que um número tiver o expoente 1 o resultado será ele mesmo:

\boxed{a^1=a}

Exemplos:

9^1 = 9

4^1 = 4

x^1=x

b) Para expoente valendo 0 o resultado será sempre 1, por exemplo:

\boxed{{a^0}=1}

Exemplos:

10^0 = 1

5^0=1

99^0=1

c) Para potencias de mesma base e expoente diferente:

Na multiplicação:

\boxed{a^x.a^y= a^{x+y}}

Exemplos:

6^3.6^2=6^{3+2}= 6^5

9^{10}.9^{-4}=9^{10+(-4)}=9^6

2^{-2}.2^{-3}=2^{-2+(-3)}=2^{-5}

Na divisão:

\boxed{\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}}

Exemplos:

\frac{9^8}{9^4} = 9^{8-4}=9^4

\frac{8^3}{8^5} = 8^{3-5}=8^{-2}

\frac{20^{10}}{20^{-4}}=20^{10-(-4)}=20^{14}

d) Para potências de mesmo expoente:

Na multiplicação:

\boxed{a^x.b^x=(ab)^x}

Exemplos:

11^3.2^3=(11.2)^3=22^3

7^{-2}.9^{-2}=(7.9)^{-2}=63^{-2}

9^3.3^3=(9.3)^3 =27^3

Na divisão:

\boxed{\frac{a^x}{b^x}=(\frac{a}{b})^x}

Exemplos:

\frac{2^3}{3^3}=(\frac{2}{3})^3

\frac{4^{-2}}{ 9^{-2}}=(\frac{4}{9})^{-2}

\frac{8^3}{5^6}=(\frac{8}{5^2})^3

d) calcular a potência e outra potência:

\boxed{(a^x)^y=a^{x.y}}

Exemplo:

(2^2)^3=2^{2.3} = 2^6

(9^4)^3=9^{4.3}=9^{12}

e) Potência com expoente negativo:

\boxed{a^{-x} = \frac{1}{a^x}}

Exemplos:

3^{-2} = \frac{1}{3^2}

\frac{1}{3^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{3^3}} = 3^3

\frac{4^{-3}}{5^{-2}} = \frac{5^2}{4^3}

f) Potência com expoente fracionário:

\boxed{a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}}

Exemplos:

8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2

25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5

16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2

Observações

Essas propriedades são usadas para facilitar em alguns cálculos. Devemos usar as propriedades quando for conveniente.

Exemplos:

2^2.2^3= 2^{2+3} = 2^5 = 2.2.2.2.2 = 32 dá o mesmo trabalho do que não usar a propriedade.

\frac{3^9}{3^7} = \frac{3.3.3.3.3.3.3.3.3}{3.3.3.3.3.3.3}= 3.3=9

Nesse 2º exemplo é melhor usar a propriedade 3^{9-7} = 3^2=3.3=9

Exercícios resolvidos:

1) Calcule:

a) 3^3

b) -3^3

c) (-3)^3

Resolução:

a) 3^3 = 3.3.3=27

b) -3^3 = -(3.3.3) = -27

c) (-3)^3 =(-3).(-3).(-3) = -27

Obs.: Veja que 3³, -3³ e (-3)³ são diferente. Na letra b) o expoente 3 está somente no 3 e não no sinal de  menos(-) , na letra c) o menos(-) está incluído então o expoente também está elevando ele.

2) Calcule:

a) 2^{-4}

b) -3^{-2}

c) (\frac{1}{3})^{-2}

Resolução:

a) 2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}

b) -3^{-2} = -(\frac{1}{3^2})=-\frac{1}{9}

c) (\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{1}{(\frac{1}{3})^2})=\frac{1}{\frac{1}{9}}= 1. \frac{9}{1}= 9

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Fórmula de Bhaskara

A  Fórmula de bhaskara é muito usada pra encontrar as raizes de uma equação de 2º grau. Uma equação de 2º grau tem a seguinte forma:

\boxed{ax^2+bx+c=0}

Por Exemplo, na equação x^2+x-2 tem duas raizes. Observe o grafico.

Essa grande curva se chama parábola, as raízes são exatamente onde a parábola corta o eixo x(a reta horizontal)  quando o valor de y(a reta vertical) vale 0. A equação é:

x^2+x-2=0

Agora, pra poder achar as raízes dessa equação é só substituirmos os números na fórmula de bhaskara. Observe que no termo x² o valor de a é igual a 1, no termo x o valor de b é 1 e no termo -2, o valor de c é -2. Agora é só substituir na formula.

x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4(1)(-2)}}{2(1)}

x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}

x =\frac{-1\pm 3}{2}

A partir daqui haverá duas resposta, uma:

x=\frac{-1+3}{2}

x=1

e a outra

x=\frac{-1-3}{2}

x=-2

Agora que você já tem uma ideia pra que serve a fórmula de bhaskara, vamos aos detalhes.

Como já disse a fórmula de bhaskara é usada pra achar as raízes de uma equação do 2º

As letras a,b e c da fórmula é obtida da equação do 2º grau.

Exemplo:

x^2-5x+6=0, através da fórmula nos podemos achar as raízes dessa equação. Lembre que a equação do 2º grau tem essa forma: ax^2+bx+c=0

Substituindo na fórmula a equação x^2-5x+6=0 fica:

x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4(1)(6)}}{2.1}

x =\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}

x = \frac{5\pm 1}{2}

x' = \frac{5+1}{2} = 3

x'' = \frac{5-1}{2} = 2

Observe que obtivemos 2 raizes: 2 e 3, então 2 e 3 são os pontos onde a parábola corta o eixo x, isto é, as raizes são os pontos  ( 2 , 0) e (3 , 0).

Discriminante

Na formula de bhaskara, aquela expressão que fica dentro da raiz quadrada é chamada de discriminante e ela pode ser escrita da seguinte forma:

Essa letra, que parece um triângulo, é a letra grega delta maiúsculo. Dessa forma podemos reescrever a fórmula de bhaskara assim:

Toda vez que formos achar as raízes uma equação de 2º é melhor resolver o delta primeiro, pois assim saberemos quantas raízes tem a equação. Observe o quadro abaixo:

Observe que quando

∆ > 0 a parábola tem duas raízes.

∆ = 0 a parábola tem 1 raiz.

∆ < 0 a parábola tem nenhuma raiz.

Letra a da equação do 2º grau.

Na equação do 2º grau, a letra a, que fica junto com o termo x² tem que ser diferente de zero (a ≠ 0).

Quando:

a > 0 a parábola tem a concavidade virada para cima.

a < 0  a parábola tem a concavidade virada para baixo.

Concavidade é a parte aberta da parábola.

Observe o quadro que você irá entender melhor:

Durante muito tempo diversos estudiosos tentaram achar uma solução para x nesta equação, complicado por haver um termo ao quadrado e o mesmo de primeiro grau. Assim, a fórmula de Bhaskara utiliza um método inteligente, unindo pura e simplesmente, uma fatoração de um polinômio para conseguir pôr apenas uma incógnita x no caso e assim, achar um valor definitivo:

ax^2+bx+c=0

x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}

(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a}

(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}

(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}

(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}

x+\frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Se você viu algo errado ou você não concorda comente!

Hiparco, o Pai da Trigonometria

Hiparco (por volta de 190-125 a.C) é considerado um dos melhores astrônomos da antiguidade. Cuidadoso, ele desenvolveu importantes trabalhos nos observatórios de Rodes. Creditam-se a ele feitos como a determinação do mês lunar médio, um calculo da inclinação do plano na orbita terrestre e a organização de um catálogo de 850 estrelas. Sabe-se também que ele foi quem introduziu  na Grécia  a divisão do círculo em 360º e propôs a localização de pontos  sobre a superfície  da terra por meio de latitudes e longitudes.

No entanto, pelo fato de escrever a primeira tabela trigonométrica, Hiparco ficou conhecido como “Pai da trigonometria”.

Essencialmente, a idéia de Hiparco é tão simples que poucos se dão conta de sua genialidade. Na verdade, ele introduziu uma única função trigonometrica: a função corda. Pela figura abaixo, nota-se que uma tábua de cordas é equivalente a uma tábua de senos trigonométricos.

Acredita-se que uma tábua de cordas posterior, devida ao matemático Claudio Ptolomeu (c. 85 – c. 65), foi desenvolvida a partir da descoberta de Hiparco.