Potenciação

Quando vemos vários números multiplicando o mesmo número podemos adotar uma regra chamada potenciação. Por exemplo

3.3.3.3 = 3^4

Observe(no exemplo acima) que o 3 aparece se multiplicando 4 vezes, então para deixar isso mais fácil e simples podemos colocar na forma 3^4.

Mais exemplos:

2.2.2.2.2.2.2=2^7

8.8.8.8=8^4

x.x.x=x^3

O expoente indica o total de vezes que a base deve se multiplicar. Por exemplo: Em 7^4 = 7.7.7.7 o expoente é 4 então o 7 será multiplicado 4 vezes. Agora que você já viu os conceitos básico, vamos ver as propriedades.

Propriedades


a)Toda vez que um número tiver o expoente 1 o resultado será ele mesmo:

\boxed{a^1=a}

Exemplos:

9^1 = 9

4^1 = 4

x^1=x

b) Para expoente valendo 0 o resultado será sempre 1, por exemplo:

\boxed{{a^0}=1}

Exemplos:

10^0 = 1

5^0=1

99^0=1

c) Para potencias de mesma base e expoente diferente:

Na multiplicação:

\boxed{a^x.a^y= a^{x+y}}

Exemplos:

6^3.6^2=6^{3+2}= 6^5

9^{10}.9^{-4}=9^{10+(-4)}=9^6

2^{-2}.2^{-3}=2^{-2+(-3)}=2^{-5}

Na divisão:

\boxed{\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}}

Exemplos:

\frac{9^8}{9^4} = 9^{8-4}=9^4

\frac{8^3}{8^5} = 8^{3-5}=8^{-2}

\frac{20^{10}}{20^{-4}}=20^{10-(-4)}=20^{14}

d) Para potências de mesmo expoente:

Na multiplicação:

\boxed{a^x.b^x=(ab)^x}

Exemplos:

11^3.2^3=(11.2)^3=22^3

7^{-2}.9^{-2}=(7.9)^{-2}=63^{-2}

9^3.3^3=(9.3)^3 =27^3

Na divisão:

\boxed{\frac{a^x}{b^x}=(\frac{a}{b})^x}

Exemplos:

\frac{2^3}{3^3}=(\frac{2}{3})^3

\frac{4^{-2}}{ 9^{-2}}=(\frac{4}{9})^{-2}

\frac{8^3}{5^6}=(\frac{8}{5^2})^3

d) calcular a potência e outra potência:

\boxed{(a^x)^y=a^{x.y}}

Exemplo:

(2^2)^3=2^{2.3} = 2^6

(9^4)^3=9^{4.3}=9^{12}

e) Potência com expoente negativo:

\boxed{a^{-x} = \frac{1}{a^x}}

Exemplos:

3^{-2} = \frac{1}{3^2}

\frac{1}{3^{-3}} = \frac{1}{\frac{1}{3^3}} = 3^3

\frac{4^{-3}}{5^{-2}} = \frac{5^2}{4^3}

f) Potência com expoente fracionário:

\boxed{a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}}

Exemplos:

8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2

25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5

16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2

Observações

Essas propriedades são usadas para facilitar em alguns cálculos. Devemos usar as propriedades quando for conveniente.

Exemplos:

2^2.2^3= 2^{2+3} = 2^5 = 2.2.2.2.2 = 32 dá o mesmo trabalho do que não usar a propriedade.

\frac{3^9}{3^7} = \frac{3.3.3.3.3.3.3.3.3}{3.3.3.3.3.3.3}= 3.3=9

Nesse 2º exemplo é melhor usar a propriedade 3^{9-7} = 3^2=3.3=9

Exercícios resolvidos:

1) Calcule:

a) 3^3

b) -3^3

c) (-3)^3

Resolução:

a) 3^3 = 3.3.3=27

b) -3^3 = -(3.3.3) = -27

c) (-3)^3 =(-3).(-3).(-3) = -27

Obs.: Veja que 3³, -3³ e (-3)³ são diferente. Na letra b) o expoente 3 está somente no 3 e não no sinal de  menos(-) , na letra c) o menos(-) está incluído então o expoente também está elevando ele.

2) Calcule:

a) 2^{-4}

b) -3^{-2}

c) (\frac{1}{3})^{-2}

Resolução:

a) 2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}

b) -3^{-2} = -(\frac{1}{3^2})=-\frac{1}{9}

c) (\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{1}{(\frac{1}{3})^2})=\frac{1}{\frac{1}{9}}= 1. \frac{9}{1}= 9

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2 Responses to Potenciação

  1. Selma silva says:

    Tenho um bloqueio frente a matemática ,não consigo entender nada ,seria a realização de um sonho aprender

  2. sergioluizgarciafilho says:

    estou com muita dificuldades nas outra propriedade da potencia como no montante

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